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標題:

數學-AIMO考題問題

發問:

小六: 求 1^2+2^3+3^4+4^5+5^6+6^7+...+2010^2011的個位數國二: 求 2x^2-6xy+9y^2=2011的正整數解組數國三: 求1234x congrent 33 (mod 2013)的最小正整數解 (即1234x模2013餘33) 請附計算過程,謝謝

最佳解答:

小六: 12 + 23 + 3? + 4? + 5? + 6?+ 7? + 8? + 91o + 1011 的個位數 = 1 + 8 + 1 + 4 + 5 + 6 + 1 + 8 + 1 + 0 = 35 的個位數 = 5故所求個位數 = 5 * (2010/10) = 5 * 201 的個位數 = 5。國二: 2x2 - 6xy + 9y2 = 2011 4x2 - 12xy + 18y2 = 4022 4x2 - 2(2x)(3y) + 9y2 + 9y2 = 4022 (2x - 3y)2 + (3y)2 = 4022但 4022 ≡ 2 (mod 3) 故 (2x - 3y)2 ≡ 2 (mod 3) , 但平方數 ≡ 1 或 0 (mod 3) , 矛盾! 故 2x2 - 6xy + 9y2 = 2011 無正整數解。國三: 1234x ≡ 33 (mod 2013) 設 1234x = 2013y + 33 1234x = 33*61y + 33 1234x = 33(61y + 1) 因 1234 與 33 互質 , 設 x = 33x' , 1234x' = 61y + 1 1220x' + 14x' = 61y + 1 61(20x' - y) = 1 - 14x' 令 20x' - y = k , 56k + 5k = 1 - 14x' 14(4k + x') = 1 - 5k 1 - 5k 是 14 的倍數 , 可取 k = 3 , 則 14(4*3 + x') = - 14 x' = - 13 x = 33x' = - 429 故 1234x ≡ 33 (mod 2013) 的最小正整數解 = 2013 - 429 = 1584。 2013-03-07 01:00:43 補充：小六那題錯了,現在很眼睏,明天修正。 2013-03-07 16:12:29 補充：修正小六 : 1^2 + 2^3 + 3^4 + 4^5 + 5^6 + 6^7 + ... + 2010^2011 的個位數 = (1^2 + 1^12 + 1^22 + ... + 1^2002 + 2^3 + 2^13 + 2^23 + ... + 2^2003 + 3^4 + 3^14 + 3^24 + ... + 3^2004 + ... + 9^10 + 9^20 + 9^30 + ... + 9^2010) 的個位數。 2013-03-07 16:13:19 補充： = ( 1^2 + 1^12 + 1^22 + ... + 1^2002 + 2^3 + 2^13 + 2^23 + ... + 2^2003 + 3^4 + 3^14 + 3^24 + ... + 3^2004 + 4^5 + 4^15 + 4^25 + ... + 4^2005 + 5^6 + 5^16 + 5^26 + ... + 5^2006 2013-03-07 16:13:39 補充： + (-4)^7 + (-4)^17 + (-4)^27 + ... + (-4)^2007 + (-3)^8 + (-3)^18 + (-3)^28 + ... + (-3)^2008 + (-2)^9 + (-2)^19 + (-2)^29 + ... + (-2)^2009 + (-1)^10 + (-1)^20 + (-1)^30 + ... + (-1)^2010 ) 的個位數。 2013-03-07 16:14:59 補充： = [ 2^3 + 2^13 + 2^23 + ... + 2^2003 - (2^9 + 2^19 + 2^29 + ... + 2^2009) + 3^4 + 3^14 + 3^24 + ... + 3^2004 + 3^8 + 3^18 + 3^28 + ... + 3^2008 + 4^5 + 4^15 + 4^25 + ... + 4^2005 - (4^7 + 4^17 + 4^27 + ... + 4^2007) + 201 + 5 * 201 + 201 ] 的個位數。 2每4次方循環 : 2 4 8 6 3每4次方循環 : 3 9 7 1 4每2次方循環 : 4 6 2013-03-07 16:15:08 補充： = [ 8 + 2 + 8 + 2 + ... + 8 - (2 + 8 + 2 + 8 + ... + 2) + 1 + 9 + 1 + 9 + ... + 1 + 1 + 9 + 1 + 9 + ... + 1 + 4 + 4 + 4 + 4 + ... + 4 - (4 + 4 + 4 + 4 + ... + 4) + 7 ] 的個位數。 = [8 - 2 + (1 + 9)100 + 1 + (1 + 9)100 + 1 + 7] 的個位數。 = 8 - 2 + 1 + 1 + 7 = 15 的個位數 = 5。 2013-03-07 16:20:00 補充： To 諸葛諭遜 , 請問你是怎知前 2000 項的個位總和確是 0 的 ?

其他解答:

計法有點，只是有點唔妥，因為前2000項的個位總和確是0，所以答案正確。

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