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數學相關的組合問題

發問:

將4個獎品分給5人,試求下列情形之分法有多少種? 1)獎品相異,每人至多得一個 2)獎品相異,每人可兼得 3)獎品相同,每人至多得一個 4)獎品相同,每人可兼得 答案分別是 1)120 2)625 3)5 4)70 請告訴我解法,還有講解為什麼是那樣... 讓我不能理解的是,獎品明明只有4個為什麼要每人可兼得???? 還有相不相異在這之中有什麼差別?????

最佳解答:

將 4 個獎品分給 5 人, 試求下列情形之分法有多少種? ( 1 ) 獎品相異, 每人至多得一個 解: 這題是屬於排列組合之完全相異物直線排列的作法 第一個獎品有五個人可以選擇 第二個獎品有四個人可以選擇 第三個獎品有三個人可以選擇 第四個獎品有二個人可以選擇 P54 ＝ 5 * 4 * 3 * 2 ＝ 120 答: 120 種 ( 2 ) 獎品相異, 每人可兼得 解: 這題是屬於排列組合之重複排列的作法 第一個獎品有五個人可以選擇 第二個獎品有五個人可以選擇 第三個獎品有五個人可以選擇 第四個獎品有五個人可以選擇 5 * 5 * 5 * 5 ＝ 54 ＝ 625 答: 625 種 ( 3 ) 獎品相同, 每人至多得一個 解: 這題是屬於排列組合之相異物的組合的作法 從此 5 個人當中選 4 個人出來排列來得到獎品, 若考慮選擇的次序, 則共有 P54 ＝ 5 * 4 * 3 * 2 ＝ 120 由於固定的 4 個人, 其直線排列數為 4! ＝ 24. 例如 A, B, C, D 四人的直線排列有 ( A, B, C, D ) , ( A, B, D, C ) , ( A, C, B, D ) , ( A, C, D, B ) , ( A, D, B, C ) , ( A, D, C, B ) ……. 24 種, 而這 24 種排列皆為同一種選法, 因此選法共有 P54 / 4! ＝ 120 / 24 ＝ 5 ( P54 / 4! ＝ 5! / ( 4! * 1! ) ＝ C54 ) 答: 5 種 ( 4 ) 獎品相同, 每人可兼得 解: 這題是屬於排列組合之相異物的組合的作法 ( 但是這題比較複雜 ) 先將得到獎品的情形予以分類 一人得一個獎品: C54 ＝ 5 一人得二個獎品, 二人各得一個獎品: 一人得二個獎品 ＝ C51 ＝ 5 二人各得一個獎品 ＝ C42 ＝ 6 ( 因為只剩下四個人 ) 5 * 6 ＝ 30 二人各得二個獎品: C52 ＝ 10 一人得三個獎品, 一人得一個獎品: 一人得三個獎品 ＝ C51 ＝ 5 一人得一個獎品 ＝ C41 ＝ 4 ( 因為只剩下四個人 ) 5 * 4 ＝ 20 一人得四個獎品: C51 ＝ 5 再將各種情形的選法相加 5 ＋ 30 ＋ 20 ＋ 10 ＋ 5 ＝ 70 答: 70 種

其他解答:

獎品可以兼得是因為有人沒有得到有人拿走兩個以上的獎品

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